常见勾股数有哪些，常见勾股数组合及表详解？

昨晚在某平台，看到一位自称“有多年教学经验”的初中数学老师给初中生讲勾股数的规律。

视频开头，它说别人讲的勾股数规律“太笨”了，它非常自信地表示要教一个“更好”的办法，“让你看看x老师是怎么给你讲勾股数的”。

乍一看，让我颇有遇到知音的感觉，看完之后才发现，也是一个挂羊头、卖狗肉的，以正义之名、行奸诈之实。

不过这也很正常，要是骗子都给自己贴好了标签，也不会有那么多人被坑于无形，甚至到死都还在感恩戴德。

下面，我来揭开它的真面目，也希望大家能品评一下，看我的分析是否在理。

经过这位老师的一通讲解，它给出了上面的两句口诀，可能很多人一看，会感觉“这不是挺好的吗？孩子直接套口诀，多快呀！”实际上，远非如此。

我个人认为，小学数学和中学及以后的数学，在学习方法上有本质区别：

小学数学是从零到一的阶段，能不能学好不重要，关键要“混个脸儿熟”，孩子孩子能理解、能灵活变通和应用当然更好，如果不能，也可以死记硬背。比如小学阶段比较有名的“鸡兔同笼”问题，孩子能学会、能举一反三是每个家长和老师都希望看到的，但如果孩子理解不了，是可以把解题思路背下来的；当别人提到类似的问题时，孩子可以反应不过来，也可以想不起来，但起码可以知道对方在讲什么，不至于像听天书一样、一窍不通。

从地球诞生到最早的人类——类人猿的诞生，经历了45亿年，而从类人猿进化到智人，只用了1000万年左右的时间；

从零到一是最难的，有一之后，就会变得越来越简单。

孩子升入初中以后，就开始一生二、二生三、三生万物的高速发展阶段，而要高速、稳定地发展，就必须要遵守基本的原则和规律。

简而言之，小学阶段，重在知其然，可以不知其所以然；而到了初中以后，不但要知其然，更要知其所以然，后者尤为重要。

孩子在学习数学（包括物理、化学）时，是否知其所以然，决定了孩子以后会爱上数学、还是会害怕数学：孩子能知其所以然，会慢慢看到数学之美、体会到数学的快乐，自然就会越学越喜欢学，越学越高效，越学感觉越简单；如果孩子不能知其所以然，必然会有越来越多的知识需要背和记，就算孩子辛辛苦苦把该背的都背了下来，成绩也很难如意，尤其是到高中以后，想靠死记硬背、生搬硬套学好理科，可能真的比登天还难，这种投入与产出的巨大差异，可以轻而易举地击穿孩子的自信、让孩子直接崩溃，轻则厌学、敷衍，重则弃学、自暴自弃。

接下来，我们来看看上面那位老师的勾股数口诀：“奇数平方各一半，偶数一半又平方”，里面有多少坑：

坑一：如果只看口诀，很难理解它的意思。

“一半”的准确含义就是“平分”，但奇数的平方是奇数，而奇数的一半是小数，这不符合“勾股数都是整数”的原则，不过看完它的示例，每个同学基本上都能理解它要表达的意思。

有些家长可能会觉得：孩子能正确理解不就行了吗，何必吹毛求疵呢？

持这种观点的家长，不但大错特错，而且还容易误导孩子。

大部分的中小学生，尤其是现在娇生惯养、倍受呵护的孩子，思想都比较单纯，或者说比较容易“认死理儿”，在孩子心中，好坏、善恶、美丑要比成年人更加泾渭分明，对就是对，错就是错，他/她们还比较难理解好坏参半、好坏难分这些混合状态，这是每个孩子成长过程中都要经历的阶段，随着年龄和阅历的增加，他们会慢慢接受并理解这些状况。

但数理化这些科学类学科，都是极其严谨的，每个专有名词都有非常明确的含义，一就是一，二就是二，尤其是中学阶段，几乎不会出现文学中经常出现的模棱两可的现象。

初中阶段教授数理化的目的，我认为主要有两个：第一，让学生入门，掌握基础的科学知识；第二，让学生养成科学、严谨的态度和良好的习惯，物理中不管多简单、多容易的实验，学生也必须按照步骤一步一步操作，就是让学生从一开始就养成按规定操作的习惯，否则，他们很容易把不好的习惯带到以后的工作和生活中，比如大学的实验，一个操作失误就有可能损坏价值几十上百万的仪器，在高科技领域，比如航天器，组装阶段的一个疏忽，就可能造成以亿计的损失，这种后果，是绝大多数人都无力承担的。一个成年人粗心大意的种子，很可能是在他很小的时候被种下的，等到长成参天大树的时候再去处理，哪怕费尽九牛二虎之力，恐怕也无法根除。但如果这是一棵谨小慎微的大树，那么它给这个人带来的益处，则可能是金钱无法衡量的。

在数学里，2的一半只有1，1的一半只有0.5，但在那个老师的示例中，225的一半有两个，分别是112和113，没有112.5，这就很容易误导学生，让学生错误的认为“一半”并不是严格的“二分之一”，那么学生回答“5的一半是2、2.5、3 ”也就有据可依了，这种情况不一定会真实发生，但它造成的负面影响非常大。

榜样的力量是伟大的，给孩子树立正确的榜样，孩子很容易学好；给孩子看错误的榜样，他们也很容易学坏。

作为跟孩子关系最亲密的父母和老师，更应该以身作则，给孩子做好示范。

口诀后半句的表达，同样存在类似的问题。

老师给学生作出了错误的榜样，学生很容易把这种表达方式带到考场上，这可能就是学生会写出不符合评分要求的语句、被扣分的根本原因。

坑二：考虑问题不全面，利小弊大，遗害深远

最坑人的是，这位老师只举符合它口诀的例子，对不符合它的口诀的例子，既不提、也不解释，更没有警示。

很多整数，都不止存在于一组勾股数中。

以15为直角边长的勾股数有：15、112、113， 15、36、39， 15，20，25 8、15、17 ，除了第一组符合它的口诀之外，其它三组都不符合，另外还有一组以15为斜边长的勾股数：9、12、15

同样，以16为直角边长的勾股数，除了它列出的“16、63、64”之外，还有三组，这里就不再一一列出了，同学们可以自己想一想怎么求，后面会有讲解。

假如计算勾股数是中考必考题型，那么遇到下面的题：

“请写出所有含有16的勾股数组合”、

“写出所有含有15的勾股数组合，并写出计算过程”

。。。。。。

就算学生把口诀背得滚瓜烂熟，很可能还是得零分，因为老师就没教他们那些数是怎么算出来的，学生除了会套口诀，别无它法，遇到计算题也不会写过程，就算结果都正确，也不能得分；如果孩子把口诀写到答题卡上，轻则不得分，重则可能会被当成作弊的暗号，整张卷子都是零分。

初中阶段的实际情况很可能是：“能与15组成勾股数的整数是（ ）”这种考题几乎不会出现，在中考中出现的概率更是无限接近于零 。

所以，这种口诀连“鸡肋”都算不上，叫“鸡屎”还差不多，是不能吃的。

老师讲课都讲不全面，又怎么能要求学生做题时考虑周全呢？

这种口诀虽然算不上屠龙术，但也不比屠龙术强多少；

学生做不对题不过是蝇头小事，但老师展示给孩子的“只见树木、不见森林”的态度，可能会伴随孩子的终生。

正所谓差之毫厘，谬以千里。

这不是捡了芝麻、丢了西瓜，而是捡了一个乒乓球，丢了一座豪华足球场。

有些家长和老师经常抱怨孩子粗心大意、丢三落四，也许孩子的这些坏习惯，正是来自它们无意间的言传身教！

坑三 学生食而不化，逐渐失去学习兴趣

记得小时候特别喜欢吃方便面，因为很少有机会能吃到，印象最深的有两次：一次是生病了，我父亲给我买了好几袋；第二次是从奶奶家偷了两个啤酒瓶、换了一袋天方牌方便面，然后藏到村东头的一个草垛里吃完了，那一个下午都没敢回家。

现在，方便面“营养价值低、是垃圾食品”差不多已成为多数人的共识，如非生活所迫，应该没有几个人能忍受一日三餐只吃方便面的生活；但如果隔三差五吃一次，感觉还是比较好的。

同样道理，如果学生偶尔背一两个口诀、记一两个模板，调节一下学习氛围，也可能会提升学生的学习兴趣，但如果这些口诀、模板等数以百计，这时候的感觉就是痛苦了，尤其是当学生背下来、考试仍然得不了分的时候，痛苦就变成了绝望，这时候很多学生可能会觉得“我已经不能再努力了”，然后就是“我已经无药可救了”。。。。。。

中国人的主食是米和面，但是没有人会吃生米和面粉。但是那位老师的教法，就像直接给孩子吃生米、喂生面，孩子不知道老师的喂法不对，结果肚皮鼓鼓却面黄肌瘦、骨瘦如柴，这还是轻的，严重的我就不说了，请大家自行脑补吧！

当家长指责老师喂法不对时，它们会说“你看那边xxx，身体多好多健康，不也是我喂出来的吗”，它不知道的是：那个健康的孩子会自己煮饭，每次他都会把老师给的米面煮熟了再吃，煮的多了，还会加些野菜进去，虽然味道不好，但起码可以做到让身体吸收。

有些家长也觉得“都是一个老师教的，别的孩子能学好，我家娃没学好，肯定是我家娃的问题”，家长不知道的是那些成绩好的是因为他们有更好的天赋，如果他们遇到一个好老师，他们的成绩还可以更上一层楼。

这样的家长不是少数，这样的老师，更加数不胜数。

勾股数的计算方法

勾股数计算方法，本质上是平方差公式的应用之一，如果上面那个老师看不出来这一点，那它的水平实在太次了；如果看出来而不讲，则其行可鄙、其心可诛。

总之，孩子在学校遇到这样的老师，算是倒了八辈子霉。

以上过程，我相信每个同学都能理解清楚，差别无非就是：有些孩子看一遍就彻底懂了，有些孩子需要自己写一遍、好好想一想，有些孩子需要多看几遍、多复习几次；这些差异一般只体现在学习阶段，等到中考的时候，他们基本上都能在规定的时间里把题做对，拿到相同的分数。

以上讲解的过程，不需要记，更不需要背，理解了、弄清楚了，就可以忘了。

我这样的教学方式和理念，不能保证第一个孩子都能喜欢上理科，更不可能让每个孩子每次考试都能拿满分，但起码可以让孩子们比较轻松地拿到及格甚至优秀的成绩，让每个孩子不再害怕学习理科：“到高中我可以不学理科，但如果非要让我学，我也不怕，我也相信我有能力学好”

最后，敬告各位家长：

家是孩子最后的港湾，父母是孩子最信任、最后的依靠；

孩子可以不去学校，但不能不回家；

孩子可以厌恶老师，却很少会厌恶父母，父母永远是他们心中最敬仰、最爱的人。

所以，如果你的孩子成绩不好，可能真不是孩子的问题，请不要轻易质疑孩子的学习能力，一定要努力找到背后的真正原因，而不是一味地指责孩子。

当孩子觉得连父母都不信任他们的时候，那样的孩子，得有多绝望？

其实，一个普通的初中学生，也有能力做出北京大学的自招题，只是他们的潜能没有被正确地发掘出来而已，也没有人告诉他们 他们到底有多厉害，而已

初二学生竟然能做好北大自招题？孩子的天赋是怎么被埋没的？

初三数学：学会分析和推理，初中生也能做好北京大学自招题

儿不嫌母丑，也希望父母能不嫌儿女“笨”、“学不好”，因为他们并不是真的笨、学不好，而是没有人教他们怎么聪明、怎么学好。

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