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引言

2022 年阿里巴巴全球数学竞赛预赛刚刚落下帷幕,本文对预赛中的第二、三题作详细解答,适合高中学历以上的读者阅读。

第二题

(第二题和第三题同为一组)

某日,某地的一片巨大空场地上有一场街头艺术表演,引起部分群众围观。我们将此地看作一个欧氏平面,表演的区域中心记作点阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?

设群众为阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?,他们按照从阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?开始的顺序依次选定一个围观的位置

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但需同时满足以下三个条件。

条件 1阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?围观的位置与阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?的距离不小于 10 米,即对任意阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?米。

条件 2阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?围观的位置与前面每个人位置的距离都需要不小于 1 米,即对任意阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?和任意阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?米。

条件 3:在满足条件 1 和条件 2 的前提下,阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?选择与阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?尽量接近的点进行围观,即他希望阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?取到最小可能的值。如果同时满足条件 1 和条件 2,且使得阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?取到最小可能的值的阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?不止一个,那么阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?可以选择其中的任意一个点。

例如,对于阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?,他选择位置时没有条件 2,故他会选择以阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?为圆心,10 米为半径的圆周阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?上的任意一点(与阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?的距离恰为 10 米);对于阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?,他也希望阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?的距离恰为 10 米,即阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?也在阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?上。由于阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?上有许多点与阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?的距离不小于 1 米,他可以选择其中任意一点。

请问,以下说法哪个正确?

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第三题

(本题接第二题)

由于人是有一定体积的,所以如果某人站在另一人围观的实现路径附近时,第二人就会被第一人挡住视线。我们认为,对不同的阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?,如果以阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?为圆心,阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?米为半径的圆周与线段阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?相交,那么阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?就会被阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?挡住视线而看不到表演的全貌。

请问,以下说法哪个正确?

阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?当有 60 名群众围观时,一定有人看不到表演的全貌;

阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?当有 60 名群众围观时,存在所有人都看到表演全貌的可能性,但当有 800 名群众围观时,一定有人看不到表演的全貌;

阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?当有 800 名群众围观时,存在所有人都看到表演全貌的可能性,但当有 10000 名群众围观时,一定有人看不到表演的全貌;

阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?当有 10000 名群众围观时,存在所有人都看到表演全貌的可能性。

分析

2022 阿里巴巴竞赛预赛第二、三题,不禁让人联想到去年 (2021 年)阿里巴巴竞赛预赛第一题,同样是考虑平面上人与人距离以及人数之间的关系的问题,有兴趣的读者可以参考文章

2021 年阿里巴巴全球数学竞赛预赛第一题详解

第二题比较容易,属于高中数学联赛简单题级别,用高中数学竞赛常用的覆盖法很容易得到阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?之间的关系式。而由第二题得到的与阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?之间关系式,我们用不等式,也不难用放缩等技巧,得到第三题的结论。整体而言,这两道题比去年预赛第一题容易一些。

第二题的解答

我们使用覆盖法。

为得到阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?的下界,我们需要群众尽可能密集,我们将站在阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?的人等效成一个圆心为阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?半径为 0.5 米的圆盘。不难看出,此时条件 2 等价于:圆盘与圆盘之间没有重叠部分。因为若不然,那么圆心与圆心的距离会小于半径的 2 倍,也就是 1 米,这与条件 2 相违背。而这些圆盘圆心阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?的距离在 10 米与 阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?米之间,从而我们可以用一个圆心为阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?,内半径为阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?,外半径为阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?的圆环将所有圆盘覆盖。

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由于圆盘与圆盘之间没有重叠部分,所有圆盘的面积总和必然小于圆环的面积,从而我们有了第一个不等式:

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为得到阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?的上界,我们需要所有人尽可能稀疏,类似于上述操作,这次我们将每个圆盘的半径扩大为 1 米,圆心位置不变。此时,我们考虑圆心为阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?,内半径为阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?,外半径为阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?的圆环。

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我们声明:圆环可以被所有的圆盘(不留缝隙地)覆盖。若不然,则我们假设圆环内部存在一块区域未被任何圆盘覆盖,那么这块区域(不含边界)中的一点阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?,不在任何圆盘内或圆盘边界上,故阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?到任意圆心的距离大于 1 米,从而阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?点上是完全可以站人的;其次我们注意到阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?在圆环内,从而阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?,这说明阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?点是一个比阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?更近的围观地点,这显然违背了条件 3 的就近围观规则。

由于所有圆盘可以覆盖圆环,从而所有圆盘的面积之和应该大于圆环面积,从而我们有了第二个不等式:

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请注意,上式将会在第三题中用到!!

由第一个不等式,我们进而推出:

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由第二个不等式,我们进而推出:

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从而我们令阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?可得

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选项阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?正确。

第三题的解答

根据题意,将人看成一个以阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?为圆心,阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?米为半径的圆。过阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?可以作两条切线,而在人的一侧,两条切线之间的区域是一个“不友好区域”阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?,而阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?的角,也即两条切线之间的角称为“盲角”阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?

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假定有阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?个群众采取了一种满足题目条件的围观方式,使得任何人都能看到表演全貌,我们断言:平面上任何一个点至多被两个“不友好区域”覆盖

我们考虑能看到表演全貌的两个人阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?,且他们的“不友好区域”阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?有交集,它们所对应的圆心为阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?,它们的“盲角”为阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?。首先必然有阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?,否则若阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?有交集说明两个圆必然相交,从而阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?,这违背了条件 2。我们令阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?,并记阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?的“盲角”为阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?.

如上图,注意到阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?之外,而阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?的一条切线却在阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?之内,这说明这条切线和阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?的一条切线夹在中间,这说明阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?同理有阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?

这时,如果存在第三个人阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?也能看到表演全貌,且他的“不友好区域”阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?有交集,也就是三个“不友好区域”有交集。由于阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?能看到表演全貌,故阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?不与阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?相交,从而阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?之外。不妨设阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?的一侧。令阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?的“盲角”为阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?,令阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?,并记阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?的“盲角”为阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?.

如上图,类似之前分析,我们有阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?,从而

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但另一方面,由于阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?有交集,说明阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?可以覆盖阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?,进而

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这是矛盾的。从而平面上任何一个点至多被两个“不友好区域”覆盖。

现在阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?个群众都能看到表演全貌,说明阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?至多覆盖平面(上任意一点)两次,这也就是说所有“盲角”之和不超过阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?,即

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如上图所示,我们通过三角关系可以得到

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从而阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?

而由第二题的结论,我们有

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从而

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针对选项,我们令阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?,得

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根据之前分析,这说明这 800 人中必然有人不能看到表演全貌

另一方面,60 名群众是可以做到每人都能看到表演全貌的。考虑以阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?为圆心,10 米为半径的圆周阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?上的 60 个等分点阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?,其中任意两个相邻两个点之间的距离为

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满足条件 2,且每个人与阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?的距离都为 10,满足条件 1,每个人都在最接近阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?的位置上,满足条件 3。考虑视线遮挡,由于以阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?为圆心,阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?为半径的圆两两不交,从而 60 个人都能看到表演全貌。

综上所述,选项阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?正确。

点评

2022 阿里巴巴竞赛预赛第二、三题是本次竞赛最简单的两题,适合大部分高中学历的人做。第二题使用高中数学竞赛中的覆盖法可以轻松解决,属于陈题。第三题关键在于意识到平面上的任意点至多被两个“不友好区域”覆盖,再利用第二题中的结论,也可以轻松解决。

要说明的是,第三题对于大多数人来说,有一个致命误区,那就是忽视了条件 3 的存在。不少人尝试对 800 人以上的情况进行构造,认为只需要满足人与人之间间隔 1 米以上就可以任意“插空隙”摆放群众,这种构造是有漏洞的。

仔细思索一下条件 3 的含义,群众优先选择的是最靠近阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?的位置,而非最不遮挡视线的位置,而多数人的构造是以不遮挡视线为优先选择,从而不顾最靠近阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?的位置这一优先选项。事实上,也就只有半径为 10 的群众的选择比较自由,而之后任何一个人要站的位置已经被条件 3 给限制死了,也就一个或者有限的几个位置可以选,没有任何自由度可言。正因如此,很容易发生的情况是,明明前方就有一个人遮挡着视线,但是这个位置却是满足条件的最靠近阿里巴巴数学竞赛,阿里巴巴数学竞赛预赛详解?的位置,所以硬着头皮也要站在这个位置。这是构造法无法控制的因素之一。

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